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Question

(A) माना $P(x_1, y_1)$ वक्र $y = f(x)$ पर एक बिंदु है।माना $m = \frac{dy}{dx}$ बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल है।उपस्पर्शरेखा की लंबाई $\left| \frac{y

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$\sqrt{2} 	imes 	ext{कोटि (ordinate)}$

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(A) माना $P(x_1, y_1)$ वक्र $y = f(x)$ पर एक बिंदु है।माना $m = \frac{dy}{dx}$ बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल है।उपस्पर्शरेखा की लंबाई $\left| \frac{y_1}{m} ight|$ द्वारा और अभिलंब (subnormal) की लंबाई $|y_1 m|$ द्वारा दी जाती है।यह दिया गया है कि उपस्पर्शरेखा और अभिलंब बराबर हैं,इसलिए:$\left| \frac{y_1}{m} ight| = |y_1 m|$$\Rightarrow \frac{1}{|m|} = |m|$$\Rightarrow m^2 = 1 \Rightarrow m = \pm 1$.बिंदु $P$ पर अभिलंब (normal) की लंबाई $|y_1| \sqrt{1 + m^2}$ द्वारा दी जाती है।$m^2 = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$	ext{अभिलंब की लंबाई} = |y_1| \sqrt{1 + 1} = |y_1| \sqrt{2} = \sqrt{2} 	imes 	ext{कोटि}$.

यदि किसी वक्र पर किसी बिंदु पर उपस्पर्शरेखा (subtangent) और अभिलंब (subnormal) बराबर हैं,तो अभिलंब (normal) की लंबाई किसके बराबर है?

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यदि वक्र $x = a(\theta + \sin \theta ), y = a(1 - \cos \theta ), a \neq 0$ पर बिंदु $\theta = \frac{\pi}{2}$ पर $ST$ और $SN$ अधःस्पर्शक (subtangent) और अधोलंब (subnormal) की लंबाइयाँ हैं,तो:

वक्र $y = \sqrt{x - 1}$ पर वह बिंदु जहाँ स्पर्श रेखा $2x + y - 5 = 0$ के लंबवत है,है

यदि रेखा $6x - y - 4 = 0$ वक्र $y^{2} = ax^{3} + b$ को बिंदु $(1, 2)$ पर स्पर्श करती है,तो $a + b =$

यदि $x^2 + y^2 = R^2$ $(R > 0)$ है,तो $k = \frac{y''}{\sqrt{(1 + (y')^2)^3}}$ है। $k$ का मान केवल $R$ के पदों में क्या होगा?

बिंदु $(1,1)$ पर वक्रों $y^2=x$ और $x^2=y$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

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